Chi-kvadrāta sadalījuma maksimālie un ieliekuma punkti

Matemātiskā statistika izmanto dažādu matemātikas nozaru paņēmienus, lai galīgi pierādītu, ka apgalvojumi par statistiku ir patiesi. Mēs redzēsim, kā izmantot aprēķinus, lai noteiktu iepriekšminētās vērtības abām maksimālajām chi-kvadrāta sadalījums, kas atbilst tā režīmam, kā arī jāatrod izplatīšana.

Pirms to izdarīt, mēs apspriedīsim maksimumu un lēciena punktu īpašības kopumā. Mēs pārbaudīsim arī metodi, kā aprēķināt maksimālos lēciena punktus.

Diskrētam datu kopumam visbiežāk izmantotā vērtība ir režīms. Datu histogrammā to attēlo ar augstāko joslu. Tiklīdz mēs zinām augstāko joslu, mēs aplūkojam datu vērtību, kas atbilst šīs joslas pamatnei. Šis ir mūsu datu kopas režīms.

Tā pati ideja tiek izmantota darbā ar nepārtrauktu izplatīšanu. Šoreiz, lai atrastu režīmu, mēs meklējam augstāko sadalījuma virsotni. Šī sadalījuma diagrammai pīķa augstums ir y vērtība. Šo y vērtību mūsu grafikā sauc par maksimumu, jo šī vērtība ir lielāka par jebkuru citu y vērtību. Režīms ir vērtība gar horizontālo asi, kas atbilst šai maksimālajai y vērtībai.

Lai gan, lai atrastu režīmu, mēs vienkārši varam aplūkot sadalījuma diagrammu, šai metodei ir dažas problēmas. Mūsu precizitāte ir tikpat laba kā mūsu diagrammai, un, iespējams, mums būs jānovērtē. Arī mūsu funkcijas grafikā var būt grūtības.

Alternatīva metode, kurai nav nepieciešama grafika, ir izmantot aprēķinus. Mēs izmantosim šo metodi:

1. Sāciet ar varbūtības blīvuma funkciju f (x) mūsu izplatīšanai.
2. Aprēķiniet pirmo un otro atvasinājumi no šīs funkcijas: f '(x) un f ''(x)
3. Iestatiet šo pirmo atvasinājumu vienādu ar nulli f '(x) = 0.
4. Atrisiniet x.
5. Pievienojiet iepriekšējā posma vērtību (-as) otrajā atvasinājumā un novērtējiet. Ja rezultāts ir negatīvs, tad mums ir lokāls maksimums ar vērtību x.
6. Novērtējiet mūsu funkciju f (x) visos punktos x no iepriekšējā soļa.
7. Novērtējiet varbūtības blīvuma funkciju visos tā atbalsta parametros. Tātad, ja funkcijai ir domēns, ko piešķir slēgtais intervāls [a, b], tad novērtējiet funkciju parametros a un b.
8. Lielākā vērtība 6. un 7. solī būs funkcijas absolūtais maksimums. X vērtība, kur notiek šī maksimālā vērtība, ir sadalījuma režīms.

Tagad mēs veicam iepriekš minētās darbības, lai aprēķinātu chi-kvadrāta sadalījuma režīmu ar r brīvības pakāpes. Mēs sākam ar varbūtības blīvuma funkciju f(x), kas parādīts attēlā šajā rakstā.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Šeit K ir konstante, kas ietver gamma funkcija un jauda 2. Mums nav jāzina specifika (tomēr mēs varam atsaukties uz to attēlā redzamo formulu).

Šīs funkcijas pirmais atvasinājums tiek iegūts, izmantojot produkta noteikums kā arī ķēdes noteikums:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Mēs šo atvasinājumu pielīdzinām nullei un koeficientu izteiksmei labajā pusē:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Kopš konstanti K, eksponenciālā funkcija un x^{r / 2-1} visi ir nulle, mēs varam sadalīt abas vienādojuma puses ar šīm izteiksmēm. Tad mums ir:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Tādējādi 1 = (r - 2)x^-1un mēs secinām, ka mums ir x = r - 2. Šis ir punkts gar horizontālo asi, kur notiek režīms. Tas norāda x mūsu či-kvadrāta sadalījuma pīķa vērtība.

Vēl viena līknes iezīme ir tā, kā tā izliekas. Līknes daļas var būt ieliektas uz augšu, piemēram, ar lielo burtu U. Līknes var būt arī ieliektas uz leju un veidotas kā krustojums simbols ∩. Ja līkne mainās no ieliektas uz leju uz ieliektu uz augšu vai otrādi, mums ir lēciena punkts.

Funkcijas otrais atvasinājums nosaka funkcijas grafika izliekumu. Ja otrais atvasinājums ir pozitīvs, tad līkne ir ieliekta. Ja otrais atvasinājums ir negatīvs, tad līkne ir ieliekta uz leju. Kad otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli un funkcijas grafiks maina izliekumu, mums ir lēciena punkts.

Lai atrastu grafika lēciena punktus, mēs:

1. Aprēķiniet mūsu funkcijas otro atvasinājumu f ''(x).
2. Iestatiet šo otro atvasinājumu vienādu ar nulli.
3. Atrisiniet vienādojumu no iepriekšējā soļa x.

Tagad mēs redzam, kā veikt iepriekšminētās chi-kvadrāta sadalījuma darbības. Mēs sākam ar diferencēšanu. No iepriekšminētā darba mēs redzējām, ka pirmais mūsu funkcijas atvasinājums ir:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Mēs atkal atšķiramies, divreiz izmantojot produkta likumu. Mums ir:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Mēs to izlīdzinām ar nulli un abas puses dala ar Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Apvienojot līdzīgus terminus, mums ir:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Reiziniet abas puses ar 4x^{3 - r / 2}, tas dod mums:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Kvadrātisko formulu tagad var izmantot, lai atrisinātu x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Mēs paplašinām terminus, kas tiek izmantoti 1/2 jaudu, un redzam sekojošo:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Tas nozīmē ka:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

No tā mēs redzam, ka ir divi lēciena punkti. Turklāt šie punkti ir simetriski attiecībā uz sadalījuma režīmu, jo (r - 2) atrodas pusceļā starp diviem lēciena punktiem.

Mēs redzam, kā abas šīs pazīmes ir saistītas ar brīvības pakāpju skaitu. Mēs varam izmantot šo informāciju chi-kvadrāta sadalījuma skicēšanai. Mēs varam arī salīdzināt šo sadalījumu ar citiem, piemēram, parasto sadalījumu. Mēs redzam, ka chi-kvadrāta sadalījuma lēciena punkti notiek dažādās vietās nekā lēciena punkti normālam sadalījumam.