Varbūtība, ka vienā rullītī Yahtzee varētu sasniegt nelielu taisni

Yahtzee ir kauliņu spēle, kurā tiek izmantotas piecas standarta sešpusējās kauliņas. Katrā piegājienā spēlētāji tiek doti trīs ruļļos, ​​lai iegūtu vairākus atšķirīgus mērķus. Pēc katras ripas spēlētājs var izlemt, kurš no kauliņiem (ja tādi ir) jāsaglabā un kuri atkārtoti. Mērķi ietver daudz dažādu veidu kombinācijas, no kurām daudzas tiek ņemtas no pokera. Katrs dažāda veida kombinācija ir atšķirīga punktu skaita vērts.

Tiek saukti divi no kombinācijas veidiem, kuri spēlētājiem jāizlaiž taisni: maza taisna un liela taisna. Tāpat kā pokera taisni, arī šīs kombinācijas sastāv no secīgām kauliņām. Mazās taisnās vietās izmanto četras no piecām kauliņām un lieli taisni izmantojiet visus piecus kauliņus. Kauliņu ripināšanas nejaušības dēļ varbūtību var izmantot, lai analizētu, cik liela ir varbūtība, ka vienā rullī tiks ripināta maza taisna.

Mēs pieņemam, ka izmantotie kauliņi ir taisnīgi un neatkarīgi viens no otra. Tādējādi ir vienota parauga telpa, kas sastāv no visiem iespējamiem piecu kauliņu ruļļiem. Lai gan

Tā kā mēs strādājam ar formas tērpsparauga telpa, mūsu varbūtības aprēķins kļūst par pāris skaitīšanas problēmu aprēķinu. Nelielas taisnes varbūtība ir mazas taisnas ripināšanas paņēmienu skaits, dalīts ar rezultātu skaitu parauga telpā.

Rezultātu skaitu izlasē ir ļoti viegli saskaitīt. Mēs ripojam piecus kauliņus, un katram no šiem kauliņiem var būt viens no sešiem atšķirīgiem rezultātiem. Pareizināšanas principa pamata pielietojums norāda, ka parauga laukumam ir 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 rezultāti. Šis skaitlis būs to frakciju saucējs, kuras mēs izmantojam savai varbūtībai.

Tālāk mums jāzina, cik daudzos veidos ir maza taisna ripošana. Tas ir grūtāk nekā aprēķināt parauga laukuma lielumu. Sākumā mēs saskaitām, cik daudz ir iespējams.

Nelielu taisnu ir vieglāk ripot nekā lielu taisnu, tomēr ir grūtāk saskaitīt, cik daudz veidu šāda veida taisni ir velmēti. Neliela taisne sastāv no precīzi četriem kārtas numuriem. Tā kā veidnei ir sešas dažādas veidnes, ir iespējamas trīs mazas taisnes: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} un {3, 4, 5, 6}. Grūtības rodas, apsverot to, kas notiek ar piekto nāvi. Katrā no šiem gadījumiem piektajam mirst jābūt skaitlim, kas neveido lielu taisni. Piemēram, ja pirmie četri kauliņi būtu 1, 2, 3 un 4, piektais mirst varētu būt kaut kas cits kā 5. Ja piektais mirst būtu 5, tad mums būtu liela taisna, nevis maza taisna.

Tas nozīmē, ka ir pieci iespējamie ruļļi, kas dod mazajam taisni {1, 2, 3, 4}, piecus iespējamos ruļļi, kas piešķir mazajam taisni {3, 4, 5, 6}, un četri iespējamie ruļļi, kas piešķir mazajam taisni {2, 3, 4, 5}. Šis pēdējais gadījums ir atšķirīgs, jo, ripojot 1 vai 6 piektajam dieram, {2, 3, 4, 5} mainīsies uz lielu taisni. Tas nozīmē, ka ir 14 dažādi veidi, kā pieci kauliņi var dot mums nelielu taisni.

Tagad mēs nosakām dažādu veidu kauliņu ripināšanas paņēmienu skaitu, kas dod mums taisni. Tā kā mums jāzina tikai tas, kā to izdarīt, mēs varam izmantot dažas pamata skaitīšanas metodes.

No 14 atšķirīgajiem veidiem, kā iegūt mazu taisni, tikai divi no šiem {1,2,3,4,6} un {1,3,4,5,6} ir komplekti ar atšķirīgiem elementiem. Ir 5! = 120 veidi, kā katru velmēt kopā 2 x 5! = 240 mazi taisni.

Pārējie 12 veidi, kā iegūt nelielu taisnu, ir tehniski multiseti, jo tie visi satur atkārtotu elementu. Vienam konkrētam multisetam, piemēram, [1,1,2,3,4], mēs saskaitīsim skaitu dažādos veidos, kā to izmantot. Padomājiet par kauliņu kā piecas pozīcijas pēc kārtas:

• Ir C (5,2) = 10 veidi, kā novietot divus atkārtotus elementus starp pieciem kauliņiem.
• Ir 3! = 6 veidi, kā sakārtot trīs atšķirīgus elementus.

Pēc reizināšanas principa ir 6 x 10 = 60 dažādi veidi, kā kauliņu 1,1,2,3,4 ripināt vienā rullī.

Ir 60 veidi, kā vienu šādu mazu taisni izrullēt ar šo konkrēto piekto veidni. Tā kā 12 multiseti dod piecu kauliņu atšķirīgu uzskaitījumu, ir 60 x 12 = 720 veidi, kā ripināt nelielu taisni, kurā sakrīt divi kauliņi.

Kopumā ir 2 x 5! + 12 x 60 = 960 veidi, kā ripināt nelielu taisnu.

Tagad nelielas taisnas ripināšanas varbūtība ir vienkāršs dalījuma aprēķins. Tā kā ir 960 dažādi veidi, kā mazu rullīti vienā rullī salikt, un ir 7776 rullīši piecas iespējamās kauliņas, nelielas taisnas ripināšanas varbūtība ir 960/7776, kas ir tuvu 1/8 un 12.3%.

Protams, visticamāk, ka nē, ka pirmais rullis nav taisns. Ja tas tā ir, tad mums ir atļauti vēl divi ruļļi, padarot nelielu taisnu daudz ticamāku. To iespējamību ir daudz sarežģītāk noteikt, ņemot vērā visas iespējamās situācijas, kuras būtu jāņem vērā.