Izpratne par ekvivalentiem vienādojumiem algebrā

Ekvivalenti vienādojumi ir vienādojumu sistēmas, kurām ir vienādi risinājumi. Ekvivalentu vienādojumu identificēšana un risināšana ir vērtīga prasme ne tikai iekšējā vidē algebra klase bet arī ikdienā. Apskatiet līdzvērtīgu vienādojumu piemērus, kā tos atrisināt vienam vai vairākiem mainīgajiem un kā jūs varētu izmantot šo prasmi ārpus klases.

Taustiņu izņemšana

Vienkāršākajos ekvivalento vienādojumu piemēros nav mainīgo. Piemēram, šie trīs vienādojumi ir līdzvērtīgi viens otram:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Atzīstot šos vienādojumus līdzvērtīgos, ir lieliski, bet ne īpaši noderīgi. Parasti ekvivalenta vienādojuma problēma prasa atrisināt mainīgo, lai noskaidrotu, vai tas ir vienāds (tas pats sakne) kā vienu citā vienādojumā.

Piemēram, šādi vienādojumi ir ekvivalenti:

• x = 5
• -2x = -10

Abos gadījumos x = 5. Kā mēs to zinām? Kā jūs to atrisināt vienādojumam "-2x = -10"? Pirmais solis ir zināt līdzvērtīgu vienādojumu noteikumus:

• Pievienojot vai, atņemot vienādu skaitli vai izteiksmi uz abām vienādojuma pusēm, iegūst ekvivalentu vienādojumu.
• Reizinot vai dalot vienādojuma abas puses ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, iegūst ekvivalentu vienādojumu.
• Paaugstinot abas vienādojuma puses uz tāds pats nepāra spēks vai, izmantojot tādu pašu nepāra sakni, tiks iegūts līdzvērtīgs vienādojums.
• Ja vienādojuma abas puses navnegatīvs, paaugstinot abas vienādojuma puses uz to pašu vienmērīgo spēku vai iegūstot to pašu pāra sakni, tiks iegūts līdzvērtīgs vienādojums.

Īstenojot šos noteikumus praksē, nosakiet, vai šie divi vienādojumi ir līdzvērtīgi:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Lai to atrisinātu, katram jāatrod “x” vienādojums. Ja "x" abiem vienādojumiem ir vienāds, tad tie ir ekvivalenti. Ja "x" ir atšķirīgs (t.i., vienādojumiem ir dažādas saknes), tad vienādojumi nav ekvivalenti. Pirmajam vienādojumam:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (atņemot abas puses ar vienādu skaitli)
• x = 5

Otrajam vienādojumam:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (atņemot abas puses ar vienu un to pašu skaitli)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (vienādojuma abas puses dalot ar to pašu skaitli)
• x = 5

Tātad, jā, abi vienādojumi ir līdzvērtīgi, jo x = 5 katrā gadījumā.

Ikdienā varat izmantot līdzvērtīgus vienādojumus. Tas ir īpaši noderīgi, iepērkoties. Piemēram, jums patīk konkrēts krekls. Viens uzņēmums piedāvā kreklu par 6 USD, un tā nosūtīšana ir USD 12, savukārt cits uzņēmums piedāvā kreklu par 7,50 USD, un tā nosūtīšana ir 9 USD. Kuram kreklam ir vislabākā cena? Cik kreklu (varbūt vēlaties tos iegūt draugiem) jums būtu jāpērk, lai cena būtu vienāda abiem uzņēmumiem?

Lai atrisinātu šo problēmu, atzīmējiet kreklu skaitu ar "x". Sākumā iestatiet x = 1 viena krekla iegādei. Uzņēmumam Nr. 1:

• Cena = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

Uzņēmumam Nr. 2:

• Cena = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Tātad, ja jūs pērkat vienu kreklu, otrs uzņēmums piedāvā izdevīgāku piedāvājumu.

Lai atrastu punktu, kurā cenas ir vienādas, ļaujiet "x" saglabāt kreklu skaitu, bet iestatiet abus vienādojumus viens otram. Atrodiet “x”, lai uzzinātu, cik daudz kreklu jums vajadzētu iegādāties:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9-12 (atņemot vienādi skaitļi vai izteicieni no katras puses)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (abas puses dalot ar vienādu skaitli, -1)
• x = 3 / 1,5 (abas puses dalot ar 1,5)
• x = 2

Ja jūs pērkat divus kreklus, cena ir vienāda neatkarīgi no tā, kur to iegūstat. To pašu matemātiku var izmantot, lai noteiktu, kurš uzņēmums ļauj labāk rīkoties ar lielākiem pasūtījumiem, kā arī aprēķināt, cik ietaupīsit, izmantojot vienu uzņēmumu salīdzinājumā ar otru. Redziet, algebra ir noderīga!

Ja jums ir divi vienādojumi un divi nezināmi (x un y), varat noteikt, vai divas lineāro vienādojumu kopas ir līdzvērtīgas.

Piemēram, ja jums tiek doti vienādojumi:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Varat noteikt, vai šī sistēma ir līdzvērtīga:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Uz atrisiniet šo problēmu, atrodiet "x" un "y" katrai vienādojumu sistēmai. Ja vērtības ir vienādas, tad vienādojumu sistēmas ir līdzvērtīgas.

Sāciet ar pirmo komplektu. Lai atrisinātu divus vienādojumi ar diviem mainīgie, izolējiet vienu mainīgo un pievienojiet tā risinājumu otrajam vienādojumam. Lai atdalītu mainīgo "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12 gadi
• x = - (15 - 12 g) / 3 = -5 + 4 g (otrajā vienādojumā pievienojiet "x")
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Tagad pievienojiet “y” abos vienādojumos, lai atrisinātu “x”:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

To darot, jūs iegūsit x = 7/3.

Lai atbildētu uz jautājumu, jūs varētu piemērojiet tos pašus principus otrajai vienādojumu kopai, lai atrisinātu “x” un “y”, lai secinātu, ka jā, tie tiešām ir līdzvērtīgi. Ir viegli nokļūt algebrā, tāpēc ir ieteicams pārbaudīt savu darbu, izmantojot tiešsaistes vienādojumu risinātājs.

Tomēr gudrs students pamanīs, ka divi vienādojumu komplekti ir līdzvērtīgi vispār neveicot nekādus sarežģītus aprēķinus. Vienīgā atšķirība starp pirmo vienādojumu katrā komplektā ir tā, ka pirmais ir trīs reizes lielāks par otro (ekvivalents). Otrais vienādojums ir tieši tāds pats.