Kāda ir paredzamā varbūtības vērtība?

Jūs esat karnevālā un redzat spēli. Par 2 ASV dolāriem jūs uzvelciet parasto sešpusējo veidni. Ja skaitlis, kurā tiek parādīts sešinieks, jūs iegūstat 10 USD, pretējā gadījumā jūs neko neuzvarat. Ja jūs mēģināt nopelnīt naudu, vai jūs interesējat spēlēt spēli? Lai atbildētu uz šādu jautājumu, mums ir nepieciešams gaidāmās vērtības jēdziens.

Sagaidāmo vērtību patiešām var uzskatīt par nejauša mainīgā vidējo lielumu. Tas nozīmē, ka, ja jūs atkal un atkal vadāt varbūtības eksperimentu, sekojot rezultātiem, paredzamā vērtība ir vidējais no visām iegūtajām vērtībām. Paredzamā vērtība ir tā, kas jums vajadzētu paredzēt daudzu laimes spēles izmēģinājumu ilgtermiņā.

Iepriekš minētā karnevāla spēle ir diskrēta izlases mainīgā piemērs. Mainīgais lielums nav nepārtraukts, un katrs rezultāts nāk pie mums ar skaitli, ko var atdalīt no pārējiem. Lai atrastu gaidāmo vērtību spēlei, kurai ir rezultāti x₁, x₂,..., x_n ar varbūtībām lpp₁, lpp₂,... , lpp_n, aprēķināt:

x₁lpp₁ + x₂lpp₂ +... + x_nlpp_n.

Iepriekšminētajai spēlei ir 5/6 varbūtība neko neuzvarēt. Šī iznākuma vērtība ir -2, jo spēles iztērēšanai esat iztērējuši 2 USD. Sešiniekam ir 1/6 varbūtība parādīties, un šīs vērtības rezultāts ir 8. Kāpēc 8 un nevis 10? Atkal mums jāuzskaita USD 2, ko mēs samaksājām, lai spēlētu, un 10 - 2 = 8.

Tagad pievienojiet šīs vērtības un varbūtības paredzētajā vērtības formula un galu galā ar: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Tas nozīmē, ka ilgtermiņā jums vajadzētu cerēt zaudēt vidēji aptuveni 33 centus katru reizi, kad spēlējat šo spēli. Jā, jūs dažreiz uzvarēsit. Bet jūs zaudēsit biežāk.

Tagad pieņemsim, ka karnevāla spēle ir nedaudz modificēta. Ja dalības maksa ir seši, tad par vienu un to pašu dalības maksu 2 USD, tad jūs laimējat 12 USD, pretējā gadījumā jūs neko neuzvarat. Paredzamā šīs spēles vērtība ir -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Ilgtermiņā jūs nezaudēsit naudu, bet arī neuzvarēsit. Negaidiet, ka vietējā karnevālā redzēsit spēli ar šiem numuriem. Ja ilgtermiņā jūs nezaudēsit naudu, tad karnevāls to nepelnīs.

Tagad pievērsieties kazino. Tādā pašā veidā kā iepriekš mēs varam aprēķināt tādu azartspēļu kā rulete paredzamo vērtību. ASV ruletes ritenī ir 38 numurētas laika nišas no 1 līdz 36, 0 un 00. Puse no 1.-36. Ir sarkana, puse - melna. Gan 0, gan 00 ir zaļi. Bumba nejauši nolaižas vienā no laika nišām, un tiek liktas likmes uz vietu, kur bumba piezemēsies.

Viena no vienkāršākajām likmēm ir likme uz sarkanu. Ja jūs veicat likmi 1 USD un bumba nokrīt ar sarkanu numuru ritenī, tad jūs iegūsit 2 USD. Ja bumba nolaižas uz melnas vai zaļas vietas ritenī, tad jūs neko neuzvarat. Kāda ir gaidāmā likme, piemēram, šai? Tā kā ir 18 sarkanie laukumi, pastāv 18/38 varbūtība uzvarēt ar tīro peļņu 1 USD. Pastāv 20/38 varbūtība zaudēt sākotnējo likmi 1 USD. Šīs derības paredzamā vērtība USD rulete ir 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, kas ir aptuveni 5,3 centi. Šeit mājai ir neliela mala (tāpat kā visām kazino spēlēm).

Kā vēl vienu piemēru apsveriet a loterija. Lai arī par USD 1 biļetes cenu var laimēt miljonus, loterijas spēles paredzamā vērtība parāda, cik netaisnīgi tā ir uzbūvēta. Pieņemsim, ka par 1 ASV dolāru jūs izvēlaties sešus skaitļus no 1 līdz 48. Visu sešu numuru pareizas izvēles varbūtība ir 1 / 12,271,512. Ja jūs laimējat miljonu USD par visu sešu rezultātu pareizību, kāda ir šīs loterijas paredzamā vērtība? Iespējamās vērtības ir - USD 1 par zaudēšanu un USD 999 999 par uzvaru (atkal mums ir jāatskaita spēles izmaksas un tās jāatņem no laimesta). Tas dod mums paredzamo vērtību:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Tātad, ja jums būtu jāspēlē loterija atkal un atkal, ilgtermiņā katru reizi spēlējot, jūs zaudējat aptuveni 92 centus - gandrīz visu biļetes cenu.

Visi iepriekš minētie piemēri aplūkoti diskrēti izlases mainīgais. Tomēr ir iespējams definēt arī nepārtraukta nejauša mainīgā lieluma paredzamo vērtību. Viss, kas mums šajā gadījumā jādara, ir aizstāt summēšanu mūsu formulā ar integrālu.

Ir svarīgi atcerēties, ka paredzamā vērtība ir vidējā pēc daudziem a izmēģinājumiem izlases process. Īstermiņā nejauša mainīgā lieluma vidējais rādītājs var ievērojami atšķirties no paredzamās vērtības.