Kad nodarbojas ar kopu teorija, ir virkne darbību, lai izgatavotu jaunus komplektus no vecajiem. Viena no visbiežāk sastopamajām operācijām tiek saukta par krustojumu. Vienkārši izsakoties, divu komplektu krustojums A un B ir visu to elementu kopums, kuri abi ir A un B ir kopīgs.
Mēs aplūkosim sīkāku informāciju par krustojumu teorijas teorijā. Kā redzēsim, atslēgas vārds šeit ir vārds “un”.
Piemērs
Piemērs tam, kā veidojas divu kopu krustojums a jauns komplekts, apsvērsim komplektus A = {1, 2, 3, 4, 5} un B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Lai atrastu šo divu kopu krustojumu, mums jānoskaidro, kādi elementi viņiem ir kopīgi. Skaitļi 3, 4, 5 ir abu kopu elementi, tātad A un B ir {3. 4. 5].
Krustojuma apzīmējums
Papildus izpratnei par teorijas operāciju jēdzieniem ir svarīgi arī lasīt simbolus, ko izmanto šo operāciju apzīmēšanai. Krustojuma simbolu dažreiz aizstāj ar vārdu “un” starp diviem komplektiem. Šis vārds norāda uz kompaktāko apzīmējumu parasti izmantotajam krustojumam.
Simbols, ko izmanto divu komplektu krustošanai
A un B ir devis A ∩ B. Viens veids, kā atcerēties, ka šis simbols ∩ attiecas uz krustojumu, ir pamanīt tā līdzību ar lielo burtu A, kas apzīmē vārdu "un".Lai redzētu šo apzīmējumu darbībā, skatiet iepriekš minēto piemēru. Šeit mums bija komplekti A = {1, 2, 3, 4, 5} un B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tātad mēs uzrakstītu iestatīto vienādojumu A ∩ B = {3, 4, 5}.
Krustojums ar tukšo komplektu
Viena pamata identitāte, kas ietver krustojumu, parāda mums, kas notiek, kad mēs jebkuru krustojamies ar tukšu komplektu, kas apzīmēts ar numuru 8709. Tukšais komplekts ir komplekts bez elementiem. Ja vismaz vienā no kopām, kurās mēs cenšamies atrast krustojumu, nav elementu, tad abām kopām nav kopīgu elementu. Citiem vārdiem sakot, jebkura komplekta krustojums ar tukšs komplekts dos mums tukšu komplektu.
Izmantojot mūsu apzīmējumu, šī identitāte kļūst vēl kompakta. Mums ir identitāte: A ∩ ∅ = ∅.
Krustojums ar universālo komplektu
Otrkārt, kas notiek, kad mēs pārbaudām kopas krustošanos ar universālo komplektu? Līdzīgi kā ar vārdu Visums tiek izmantots astronomijā, lai apzīmētu visu, universālais komplekts satur katru elementu. No tā izriet, ka katrs mūsu komplekta elements ir arī universālā komplekta elements. Tādējādi jebkura komplekta un universālā komplekta krustojums ir kopums, ar kuru mēs sākām.
Atkal mūsu apzīmējums palīdz glābt šo identitāti kodolīgāk. Jebkuram komplektam A un universālais komplekts U, A ∩ U = A.
Citas identitātes, kas saistītas ar krustojumu
Ir daudz vairāk vienādojumu, kas saistīti ar krustojuma operācijas izmantošanu. Protams, vienmēr ir labi prakse izmantojot kopu teorijas valodu. Visiem komplektiem A, un B un D mums ir:
- Refleksīvs īpašums: A ∩ A =A
- Komutācijas īpašums: A ∩ B = B ∩ A
- Asociētais īpašums: (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)
- Izplatīšanas īpašums: (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D)∪ (B ∩ D)
- DeMorgan's likums I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- DeMorgan's likums II: (A ∪ B)C = AC ∩ BC